M/M/1の待ち行列の平均待ち時間を求める公式

待ち行列とはラーメン屋さんに並んでいる行列をイメージしてもらうとわかりやすいです。ある処理（ここではラーメンを食べる）があってそれを待っているタスク（ここでは並んでいる人）がいるという感じです。

これはPCやネットワークの世界でも起こっています。CPU、メモリが連携してデータを処理する時、ネットワークが通信でデータを処理する時も同様のやり方で実は一つ一つラーメンを出すようなイメージで処理しています。高速なので実感はないですが💦

・タスクの到着頻度はランダムです。
・サービスにかかる時間はランダムです。
・一つの行列に対して処理は一つです。

利用率1－利用率×平均サービス時間

上記になります。ここでいう平均サービス時間とはラーメンを食べる時間になります。つまり処理にかかる時間です。利用率は1日で考えた時は

お客さんがラーメンを食べている1日の総時間÷1日の開店時間

となります。

この公式は直感的ではないので少し分解してみます。

利用率とは作業時間／全体稼働時間で出すことができるものです。

ラーメン屋さんで例えると
お客さんが1日のうちラーメンを食べている時間／1日の開店時間＝利用率
になります。

これはお客さん一人当たりがラーメンを食べる平均率を表しています。
平均サービス時間をさらに細かく公式で表すと次のようになります。

1/μ

このμは一日で処理できるお客様の数になります。

例えば1日で処理できるお客様の数が300だとすれば一人当たりにかかる平均時間を計算する時以下のようになります。

1/300 x （8時間 x 60分） = 1.6
一人当たり平均時間 x 1日の営業時間（分）＝一人当たりの平均処理時間（分）

ATM(現金自動預払機)が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し，統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで，待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い，平均待ち時間にはサービス時間を含まず，ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。

〔条件〕

公式に当てはめて考えると答えは以下になります。

２p1－２p×T_s

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